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真的“易进,难出”??? ——对“一道试题的评析”再质疑 吴三刚(湖北省黄梅县教育科学研究所)

编辑:吴三刚 发布时间:2017-11-10 10:51:03点击次数:

 真的“易进,难出”???

——对“一道试题的评析”再质疑

吴三刚(湖北省黄梅县教育科学研究所)

 

《中学实现教学参考》2017年第三期(上旬)刊登了河北省石家庄市第九中学周军山老师的《真的“易进,难出”?》(——有感于一道试题的评讲)一文,笔者读后觉得有些地方值得质疑,特撰写此文与同行交流、商榷,不足之处,敬请指正。

1.原文简要回顾

河北省石家庄市2017届高三质量检测理科数学第16题:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBC,AC=5,则此直三棱柱内切球的表面积的最大值为       

不难发现其内切球的半径即为底面直角三角形ABC的内切圆的半径R,设BC=a,AC=b,AB=c,由“等面积法”易见,R=,a2+c2=25,实质是求Rmax.

本题从大方向上看有两个基本是路:

一种是通过基本不等式转化来完成(利用单调性),另一种是直接化二元为一元(设辅助角)。

思路1:由基本不等式知R=,a=c=时,等号成立,其中0.t=,=,f(t)=,0<t.然后通过求函数f(t)在区间(0,上最大值得到答案RMAX=(.

思路2:设∠ACB=α,c=5,a=5,R==,0<α<.

        +=t,=, R==(t-1),然后求此关于t的函数最值求得答案。

2.试题命题质疑

笔者认为这道试题命题存在漏洞:在题目给定条件下,该直三棱柱不一定存在内切球。下面讨论存在内切球条件。

设此直三棱柱高AA1=h.直角三角形ABC的内切圆半径为r.  显然

h=2r时,此直三棱柱存在内切球,且内切球半径即为r

h2r时,此直三棱柱不存在内切球。

因此,笔者认为给题目加上条件“已知此三棱柱有内切球”,这体现数学命题的严谨性与规范性。实质上原文正是在默认这一条件下完成的。以下讨论均以此为前提,不再声明。

3.解题过程质疑

笔者认为:原解法思路1, R=,a=c=时,等号成立,其中0. t=,=,f(t)=,0<t.再通过求函数f(t)在区间(0,上最大值f(t)MAX,即有R===f(t)f(t)MAX=(.显然要把(作为R的最大值,必须满足上式中两处“≤”同时取等条件成立。当然可以验证当a=c时,满足,但这一关键步骤不能忽视。

4.解题方法质疑

笔者认为原文中解法过于繁琐,舍“直”求“曲”,把简单问题复杂化,且有小题大做,故弄玄虚之嫌!事实上,此题中易得R=,其实在已知条件下易知====,这与原文结论并不矛盾,但下面的解答就简单得多。

解法1 利用基本不等式  由R===--= -=(.

(仅当a=c=时取等,即得R最大值为(.)

解法2 利用三角换元转化  设∠ACB=α,c=5,a=5,R=== =-

易知0<α<,<α+<,所以1,故当α=a=c=时,R取得最大值为(.

5.变式拓展释疑

根据以上分析,特设计此变式进一步拓展引申,发散释疑。

变式:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBC,AC=5,AA1=h,直角三角形ABC的内切圆半径为r,若在此直三棱柱内部放置一半径为R的球,在下列条件下分别求R的最大值。

h=2                            h=3

分析:由前面分析知:0<r(.

:当h=2时,h=2<2rMAX=5 (,此时

r(0,1]时,要使R最大,球与直三棱柱三个侧面相切。此时RMAX=1.

r(1,(]时,h<2r则要使R最大,球与此直三棱柱上下底面相切。此时RMAX==1.

综合知:当h=2时,R的最大值为1.

:当h=3时,h=3>2rMAX=5 (.此时要使R最大,球与直三棱柱三个侧面相切,由前面结论知RMAX=(.

小结:推广至一般情形可分为三种情形:h<2rMAXh=2rMAXh>2rMAX时分别讨论,这里不再详述。

6.总结反思

通过以上实例分析,我们切实领会到数学教学必须遵循科学、严谨、规范等原则要求,教师在平时的教学中,既要突出强化数学基础知识,重视通性通法,培养数学能力,养成良好的思维品质,又不能故步自封,僵化思维,要多研究一些问题,多想一些办法,跳出定式思维,从多个角度分析问题,努力实现方法的创新,从而真正活跃学生的思维,提高学生分析问题、解决问题的能力。


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